무리수란?

무리수는 두 정수의 비율로 표현할 수 없는 실제 숫자다. 무리수를 소수점으로 쓰면 소수점 이후의 숫자는 반복 가능한 패턴이 없이 무한히 계속된다.

숫자 "pi" (3.14159...)는 소수점 이후 무한한 수의 숫자를 가지기 때문에 무리수의 일반적인 예다. 많은 제곱근들도 분수로 줄일 수 없기 때문에 무리수이다. 예를 들어 √2는 1.414에 가깝지만, 소수점 뒤의 숫자가 무한히 지속되기 때문에 정확한 값은 미확정이다: 1.414213562373095... 이 값은 분수로 표현할 수 없으므로 2의 제곱근은 무리수이다.

2018년 현재 π은 22조자리 숫자로 계산돼 패턴이 발견되지 않고 있다.
숫자를 두 정수의 비율로 표현할 수 있다면 그것은 유리수이다. 다음은 무리수와 유리수의 몇 가지 예들이다.

2 - 유리수
√2 - 무리수
3.14 - 유리수
π - 무리수
√3 - 무리수
√4 - 유리수
7/8 - 유리수
1.333 (1983년) - 유리수
1.567 (1987년) - 유리수
1.567183906(반복하지 않음) - 무리수
참고: 무리수가 컴퓨터 프로그램에 의해 발견될 때, 그것들은 반드시 추정되어야 한다.

3.14로 시작하는 파이는 가장 흔한 불합리한 숫자 중 하나이다. 파이는 같은 원의 지름에 대한 원의 원주(원주위의 거리)의 비율(원주위를 가로지르는 거리)을 계산하여 결정한다. 파이는 소수점 1천조자리 이상으로 계산되었지만 패턴이 발견되지 않았기 때문에 불합리한 숫자다.

오일러의 번호로도 알려진 e는 또 다른 흔한 불합리한 숫자다. 이 번호는 1731년 자신이 쓴 편지에서 e를 처음 소개한 레오나드 오일러(Leonard Euler)의 이름을 따서 지은 것이다. 그러나 그는 1727년 또는 1728년에 이 번호를 사용하기 시작했다. e는 보편적인 숫자다. 이 숫자의 시작은 2.71828. e는 n이 무한에 가까워짐에 따라 (1 + 1/n)n의 한계다. 이 표현은 복합 관심사를 둘러싼 논의의 일환이다.

√2로 쓰인 2의 제곱근도 비이성적이다. 이 숫자의 첫 부분은 1.41421356237로 기록될 것이다. 그러나 그 숫자는 무한대로 계속되며, 결코 반복되지 않으며, 결코 종료되지 않는다. 제곱근은 숫자를 제곱하는 것과 반대되는 것으로, 제곱근의 2배인 제곱근은 2와 같다는 뜻이다. 이것은 1.41421356237을 1.41421356237로 곱한 것이 2와 같다는 것을 의미하지만, 2의 제곱근은 끝나지 않기 때문에, 실제로 곱셈을 할 때 결과 수는 2에 가깝지만 실제로는 2가 되지 않기 때문에 이것을 정확하게 나타내기란 어렵다. 두 개의 제곱근은 절대 반복되지 않고 끝나지 않기 때문에 비이성적인 숫자다. 많은 다른 제곱근과 제곱근은 비합리적인 숫자지만, 모든 제곱근은 그렇지 않다.
상징으로 쓰인 황금비율은 1.61803398874989484820으로 시작하는 불합리한 숫자다...